MECÂNICA GENERALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONA [360]

G* = $\psi ^{*}$ = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c} =$

$\psi ^{*}$ Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ $G* =$ $\psi ^{*}$

$COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..$

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Em 1948, o físico holandês Hendrik Casimir dos laboratórios de pesquisa Philips previu que duas placas metálicas paralelas descarregadas estão sujeitas a uma força tendente a aproximá-las. Essa força somente é mensurável quando a distância entre as duas placas é extremamente pequena, da ordem de (apenas) vários diâmetros atômicos. Esta atração é chamada Efeito Casimir. Ela é relacionada às Forças de van der Waals.^[1] Devido à interação de Casimir, a energia térmica pode pular mais de duzentos ou trezentos nanômetros de vácuo.^[2]

Explicação[editar | editar código-fonte]

O Efeito Casimir é causado pelo fato do espaço vazio ter flutuações do vácuo, na visão de partícula por fótons que continuamente se formam do vácuo e retornam ao vácuo instantes depois. O espaço entre as duas placas restringe os comprimentos de onda possíveis para as ondas eletromagnéticas residuais presentes no estado de vácuo quântico e então menos fótons se fazem presentes dentro desse espaço do que no correspondente fora dele. Como resultado, há uma menor densidade de energia entre as duas placas do que no espaço aberto; em essência, há menos partículas colidindo entre as placas que do outro lado delas, o que cria uma diferença de pressão que alguns erroneamente chamam "energia negativa" e faz com que as placas sejam empurradas uma contra a outra.

Quanto mais estreito o espaço, tanto mais restrito o comprimento de onda das partículas (e campos) associado, mais restritos os modos do vácuo, menor a densidade de energia do vácuo e maior a diferença de pressão entre o interior e o exterior das placas; e portanto mais forte a força atrativa.

Já que o Efeito Casimir é pequeno e decresce com a quarta potência da distância entre as placas, seu efeito é maior em objetos pequenos que estão próximos. Pode ser uma consideração importante no estudo da interação de moléculas, junto em outros efeitos de pequena escala, como flutuações na estrutura eletrônica de moléculas causando dipolos induzidos que levam a forças de Van der Waals.

Analogias[editar | editar código-fonte]

Uma análise similar pode ser usada para explicar a radiação Hawking que causa a lenta "evaporação" de buracos negros (mesmo que isso geralmente seja explicado como o escape de uma partícula de um par partícula-antipartícula, tendo a outra partícula sendo capturada pelo buraco negro).

Um efeito análogo ao Casimir foi observado por marinheiros franceses no século XVIII. Onde dois navios balançam de um lado a outro com forte maré mas vento fraco, e os navios se aproximam mais que rudemente, a interferência destrutiva elimina a maré entre os navios. O mar calmo entre os navios tem uma densidade de energia menor que a maré de cada lado dos navios, criando uma pressão que pode empurrar os navios para mais perto de si. Se eles se aproximam demais, o cordame dos navios pode se emaranhar. Como uma contramedida, um livro do início de 1800 recomenda que cada navio deve mandar um barco remado por 10 a 20 marinheiros para afastar os navios.

Cálculo[editar | editar código-fonte]

A energia de Casimir (e sua força) pode ser calculada a partir da energia do ponto zero do modo de Fourier do campo eletromagnético entre as placas.

A força de Casimir por unidade de área $F_{c}/A$ para placas ideais, perfeitamente condutoras com vácuo entre si é

{F_{c} \over A}={\hbar c\pi ^{2} \over 240d^{4}}

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde

\hbar

(hbar, ℏ) é a constante reduzida de Planck (às vezes conhecida como constante de Dirac),

c

é a velocidade da luz no vácuo,

d

é a distância entre as duas placas.

Isso mostra que a força Casimir por unidade de área $F_{c}/A$ é muito pequena visto ${\hbar c\pi ^{2} \over 240}\approx 1,3\times 10^{-27}Nm^{2}$ .

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

O cálculo mostra que a força é proporcional à soma $1+2+3+4+5+\dots$ onde os números $1,2,3,4,5,\dots$ representam as frequências de ondas estacionárias entre as placas; cada possível onda se comporta com um oscilador harmônico quântico cuja energia do estado fundamental é igual a $\hbar \omega /2$ contribui para a energia potencial total; a força então é igual menos o derivativo da energia potencial com respeito a distância.

A série (soma de inteiros) é divergente e precisa ser renormalizada. Uma ferramenta útil é dada pela função zeta de Riemann porque a soma pode ser formalmente escrita como $\zeta (-1)$ que é igual a $-1/12$ . Embora alguns possam acreditar que esse seria um resultado correto para a soma da série $1+2+3+4+5+\dots$ , isso é totalmente incorreto e, se existir algum método rigoroso para se chegar a este resultado, então cabe a esta pessoa o ônus da prova.

Na física, em específico em Física de Partículas, uma partícula virtual é um objeto matemático que existe como construção idealizada para representar interações. Não têm existência real, de forma que partículas virtuais não são detectáveis nos experimentos.

As partículas virtuais são criadas e destruídas mediando interações. Sua função é permitir que uma dada interação possa ocorrer para que as partículas iniciais se convertam nas partículas finais do processo.^[1]^{[nota 1]}

Fundamento do mecanismo explicativo[editar | editar código-fonte]

Detalhe de um diagrama de Feynman mostrando a possibilidade de descrição de partículas virtuais.

A partícula virtual pode ser entendida, por exemplo, a partir da emissão de um fóton por um elétron, ambos se recombinando logo depois. Esses estados intermediários, não passíveis de medição, são chamados de estados virtuais, compostos de um fóton virtual e um elétron virtual.^[2]

Interações entre partículas são simplificadamente explicadas através dos diagramas de Feynman. Um diagrama para a interação acima exemplificada pode ser visto ao lado. Uma característica dos diagramas de Feynman é que linhas que começam e terminam dentro do diagrama representam partículas virtuais.^[3]

Leis de Conservação[editar | editar código-fonte]

As partículas virtuais também devem respeitar as leis físicas, de forma que cada vértice em um diagrama de Feynman deve sempre conservar a carga, número bariônico, número leptônico, energia e momento; mas não necessariamente a massa - que em física de altas energias é tratada como se energia fosse.^[3]

Contudo, as partículas virtuais por si não têm que exibir relações de dispersão condizentes às esperadas para entes físicos reais. Isso quer dizer que as massas, as energias e os momentos de partículas virtuais podem ter, independentemente, quaisquer valores - os necessários para não se violarem as leis físicas junto às partículas envolvidas, junto aos vértices nos diagramas de Feynman ^[4].

A situação é um pouco sutil: uma partícula real livre obedece à relação de dispersão, em cenário relativístico,

E={\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

, mas para uma partícula virtual essa relação notoriamente não é satisfeita. Tentando colocar as partículas virtuais como partículas no limite de existência, alguns autores "corrigem" essa situação afirmando que as partículas virtuais podem violar a conservação da energia - usualmente por instantes ínfimos - no limite observacional; ou argumentam que a a energia extra necessária à correção advém do Princípio da Incerteza. Como descrito por David Griffiths, esses raciocínios não são, contudo, corretos. ^[4]^{[nota 2]}.

A massa do elétron virtual, visto no diagrama ao lado, não corresponde à massa de um elétron real, e nem sua relação de dispersão é a de uma partícula física. Raciocínio estende-se ao fóton virtual atrelado; e a todas as demais partículas virtuais.

Partículas virtuais são abstrações matemáticas, não partículas físicas que se encontram no "limiar da existência".

Interações fundamentais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Interações fundamentais

Todos os fenômenos físicos que ocorrem na natureza podem ser descritos em termos de quatro interações fundamentais. Elas são fundamentais no sentido de que não podem ser reduzidas a interações mais básicas. Cada interação descreve como uma dada característica, como a massa de uma partícula, ou conjunto de partículas, afeta outras partículas com essa mesma característica.

Segundo o modelo padrão, cada uma dessas interações é mediada pela troca de bósons entre as partículas na qual elas atuam. Essas partículas que mediam as interações são virtuais e, por isso, não podem ser observadas diretamente. Isso justifica o porquê de os efeitos dessas interações não serem sentidas instantaneamente, já que a maior velocidade que elas podem se propagar é com a velocidade da luz. Para que uma partícula virtual possa ser emitida sem violar a conservação de energia, a mesma deve ser reabsorvida em um intervalo de tempo tão curto quanto o permitido pelo princípio da incerteza. Porém, esses bósons mediadores podem ser tornar reais caso seja fornecida energia equivalente à energia de repouso deles.^[2]

Consequentemente o alcance de uma dada interação está relacionado com a massa do bóson mediador. Assim, quanto maior a massa do bóson mediador, menor será o alcance da interação. Cada interação também apresenta um chamado tempo de interação, de forma que a troca de bósons virtuais é feita dentro desse tempo.

A intensidade de cada interação é definida pela sua constante de acoplamento, um parâmetro adimensional que serve para comparar as diferentes interações. No caso particular da interação eletromagnética, a constante de acoplamento é obtida a partir da expressão da energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes divida pelor fator ħc.

$V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

A constante de acoplamento da interação eletromagnética é também conhecida como a constante de estrutura fina $\alpha \approx 1/137$ , já substituindo os valores das constantes. Na tabela a seguir são apresentadas características específicas de cada interação:^[2]


Interação	Bóson mediador	Massa ( $GeV/c^{2}$ )	Fonte	Alcance (m)	Tempo de interação (s)	Constante de acoplamento
Forte	Glúon	0	Carga de cor	$10^{-15}$	$10^{-23}$	$\alpha _{s}\approx 1$
Eletromagnética	Fóton	0	Carga elétrica	$\infty$	$10^{-18}$	$\alpha ={\frac {1}{137}}$
Fraca	$W^{\pm },Z^{0}$	81,91	Carga fraca	$10^{-18}$	$10^{-16}-10^{-10}$	$10^{-5}$
Gravitacional	Gráviton	0	Massa	$\infty$	$-$	$10^{-38}$

Em Física, grandeza conjugada é uma grandeza física atrelada à outra grandeza de forma que a precisão da medida de uma delas mostra-se extremamente dependente da precisão com que se conhece a outra grandeza. Diz-se que uma delas é conjugada à outra.

Independências (simetrias) físicas atreladas a uma das grandezas levam à conservação da grandeza conjugada, e vice versa ^[1].

Grandezas conjugadas são em Mecânica Quântica relacionadas pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg ^[2].

É exemplo de par de grandezas conjugadas o tempo e a energia.

Introdução[editar | editar código-fonte]

A determinação de um intervalo de tempo preciso pressupõe um um mecanismo (o relógio) onde haja periodicidade de algum evento físico, onde haja um oscilador. Por construção a periodicidade do mecanismo oscilatório mostra-se intrinsecamente dependente da energia atribuída ao oscilador em cada ciclo. Relógios precisos têm mecanismos onde as energias fornecidas aos osciladores são muito bem controladas, de forma que cada oscilação dê-se sempre sob mesma condição de energia total, e por tal com o mesmo período. Perdas de energia nos mecanismos a cada ciclo devem ser meticulosamente repostas. Imprecisões no controle da energia total do oscilador levam à imprecisões na medida de intervalos de tempo (relógios imprecisos).

Energia e tempo são, por tal, grandezas ditas conjugadas.

Há de se ressaltar que a dependência é intrínseca. Qualquer que seja o relógio, deve-se buscar um controle preciso da energia do mecanismo oscilatório a fim de se ter um relógio preciso.

Em Mecânica formam outro par de grandezas conjugadas a posição e o momento linear (ou em termos menos rigorosos, a posição e a velocidade). Medidas precisas de posição requerem conhecimento preciso da velocidade em que o ponto em observação se move; e vice-versa.

Em termodinâmica são pares de grandezas conjugadas a pressão e o volume, bem como a entropia e a temperatura, a exemplo ^[3].

Precisão limite em grandezas conjugadas[editar | editar código-fonte]

A Mecânica Quântica nos mostra que há um limite de precisão intrínseco à natureza - que em nada deriva-se das precisões dos instrumentos de medida - com a qual se podem definir o valor de uma grandeza e o de sua grandeza conjugada simultaneamente. Não se podem definir ambas as grandezas conjugadas simultaneamente com exatidão absoluta; quanto mais precisa mostrando-se a definição duma, mais incerta mostrando-se a medida simultânea da grandeza conjugada em proximidade aos limites naturais.

Reforça-se que há uma imprecisão mínima inerente à natureza, e não às precisões ou imprecisões dos aparelhos de medida em si.

Tal imprecisão natural mínima é expressa pelas relações de incerteza de Heisenberg. Segundo o Princípio da incerteza, para o par de grandezas conjugas tempo e energia, em termos da constante natural de Planck, h, a incerteza na medida da energia $\Delta E$ e a incerteza na medida do tempo $\Delta t$ se relacionam de tal forma que:

\Delta E\Delta t\geq {\frac {h}{4\pi }}={\frac {\hbar }{2}}

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $\hbar$ é a constante reduzida de Planck, ou seja, a constante de Planck (h) dividida por 2π.

Retomando o exemplo dos relógios, isso quer dizer em prática - já em nível atômico, onde não há atrito e onde valem as leis da Mecânica Quântica - que definir exatamente a energia de um sistema (colocá-lo em um autoestado de energia) de fato inviabiliza seu uso como relógio ^[4].

Importante perceber que essa imprecisão mínima natural para o produto acima geralmente é, contudo, ínfima perto daquela atrelada aos aparelhos de medida cotidianos; de forma que é sempre possível se construírem relógios^[5] de pulsos mais precisos (mais sincrônicos), diminuindo-se simultaneamente a incerteza na energia dos osciladores e a incerteza dos intervalos de tempo medidos, a saber.

Em mecânica quântica, o princípio da incerteza (também chamado princípio da incerteza da Heisenberg), formulado em 1927 por Werner Heisenberg, é um enunciado que estabelece um limite fundamental para a precisão com que certos pares de propriedades de determinada partícula física, conhecidas como variáveis complementares (tais como posição e momento linear), podem ser conhecidos. No seu artigo de 1927, Heisenberg propõe que, em nível quântico, simultaneamente, quanto menor for a incerteza na medida da posição de uma partícula, maior será a incerteza do seu momento linear e vice-versa.^[1]

Esses pares de variáveis são conhecidos como variáveis complementares ou variáveis conjugadas canonicamente e, dependendo da interpretação, o princípio da incerteza limita até que ponto tais propriedades conjugadas mantêm o seu significado aproximado, já que a estrutura matemática da mecânica quântica não apoia a noção de propriedades conjugadas simultaneamente bem definidas expressas por um único valor. O princípio da incerteza implica que geralmente não é possível prever o valor de uma quantidade com certeza arbitrária, mesmo se todas as condições iniciais forem especificadas.^[2]

O princípio da incerteza é um dos aspectos mais conhecidos da física do século XX e é comumente apresentado como um exemplo claro de como a mecânica quântica se diferencia das premissas elementares das teorias físicas clássicas,^[3] porque, na mecânica clássica, quando conhecemos as condições iniciais, consegue-se determinar com precisão o movimento e a posição dos corpos de forma simultânea. Ainda que o princípio da incerteza tenha a sua validade restrita ao nível subatômico, ao inserir valores como indeterminação e probabilidade no campo do experimento empírico, tal princípio constitui uma transformação epistemológica fundamental para a ciência do século XX.^[4] Essa transformação conduziu à discrepâncias na interpretação do conteúdo físico, surgindo versões conceitualmente distintas para as relações de incerteza, podendo ser interpretadas como relações de incerteza ou indeterminação.^[5]

Expressão[editar | editar código-fonte]

Pode-se exprimir o princípio da incerteza nos seguintes termos:

O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada x_i e a incerteza associada ao seu correspondente momento linear p_i não pode ser inferior, em grandeza, à constante reduzida de Planck.^[6] Em termos matemáticos, exprime-se assim:

\Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $\hbar$ é a Constante de Planck (h) dividida por 2π.

A explicação disso não é fácil de se entender, e fala mesmo em favor da intuição, embora o raciocínio clássico e os aspectos formais da análise matemática tenham levado os cientistas a pensarem diferentemente por muito tempo. Quando se quer encontrar a posição de um elétron, por exemplo, é necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto faz aqui que se considere a radiação do modo clássico - constituída por ondas eletromagnéticas - ou do modo quântico - constituída por fótons. Caso se queira determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição.^[7]

Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior frequência), maior será a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação (onda ou fóton) em virtude da relação de Planck entre energia e frequência da radiação

E=h\cdot \nu

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

e o elétron sofrerá um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como consequência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao contrário do que afirmaria a mecânica clássica.

Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que, ao medir-se a velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não totalmente previsível.

Resumidamente, pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais precisamente se medir uma grandeza, forçosamente mais será imprecisa a medida da grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada.

Algumas pessoas consideram mais fácil o entendimento através da analogia. Para descobrir-se a posição de uma bola de plástico dentro de um quarto escuro, podemos emitir algum tipo de radiação e deduzir a posição da bola através das ondas que "batem" na bola e voltam. Se quisermos calcular a velocidade de um automóvel, podemos fazer com que ele atravesse dois feixes de luz, e calcular o tempo que ele levou entre um feixe e outro. Nem radiação nem a luz conseguem interferir de modo significativo na posição da bola, nem alterar a velocidade do automóvel. Mas podem interferir muito tanto na posição quanto na velocidade de um elétron, pois aí a diferença de tamanho entre o fóton de luz e o elétron é pequena. Seria, mais ou menos, como fazer o automóvel ter de atravessar dois troncos de árvores (o que certamente alteraria sua velocidade), ou jogar água dentro do quarto escuro, para deduzir a localização da bola através das pequenas ondas que baterão no objeto e voltarão; mas a água pode empurrar a bola mais para a frente, alterando sua posição. Desta forma torna-se impossível determinar a localização real desta bola, pois a própria determinação mudará a sua posição. Apesar disto, a sua nova posição pode ser ainda deduzida, calculando o quanto a bola seria empurrada sabendo a força das ondas obtendo-se uma posição provável da bola e sendo provável que a bola esteja localizada dentro daquela área.^[^{carece de fontes]}

Natureza da medida na mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

Como se pode depreender da argumentação acima exposta, a natureza de uma medida sofre sérias reformulações no contexto da mecânica quântica. De fato, na mecânica quântica uma propriedade leva o nome de observável, pois não existem propriedades inobserváveis nesse contexto. Para a determinação de um observável, é necessário que se tenha uma preparação conveniente do aparato de medida, a fim de que se possa obter uma coleção de valores do ensemble de entes do sistema. Se não puder montar, ao menos teoricamente (em um Gedankenexperiment) uma preparação que possa medir tal grandeza (observável), então é impossível determiná-la naquelas condições do experimento.

Uma comparação tornará mais clara essa noção. No experimento de difração da dupla fenda, um feixe de elétrons atravessando uma fenda colimadora atinge mais adiante duas outras fendas paralelas traçadas em uma parede opaca.

Do lado oposto da parede opaca, a luz, atravessando as fendas simultaneamente, atinge um anteparo. Se se puser sobre este um filme fotográfico, obtém-se pela revelação do filme um padrão de interferência de zonas claras e escuras. Esse resultado indica uma natureza ondulatória dos elétrons, resultado esse que motivou o desenvolvimento da mecânica quântica.

Entretanto, pode-se objetar e afirmar-se que a natureza dos elétrons seja corpuscular, ou seja, composta de partículas. Pode-se então perguntar por qual fenda o elétron atravessou para alcançar o anteparo. Para determinar isso, pode-se pôr, junto de cada fenda, uma pequena fonte luminosa que, ao menos em princípio, pode indicar a passagem dos elétrons por tal ou qual fenda. Entretanto, ao fazê-lo, o resultado do experimento é radicalmente mudado. A figura de interferência, antes presente, agora dá lugar a uma distribuição gaussiana bimodal de somente duas zonas claras em meio a uma zona escura, e cujos máximos se situam em frente às fendas.

Isso acontece porque as naturezas ondulatória e corpuscular do elétron não podem ser simultaneamente determinadas. A tentativa de determinar uma inviabiliza a determinação da outra. Essa constatação da dupla natureza da matéria (e da luz) leva o nome de princípio da complementaridade.

Essa analogia serve para mostrar como o mundo microfísico tem aspectos que diferem significativamente do que indica o senso comum.

Para se entender perfeitamente o alcance e o real significado do princípio da incerteza, é necessário que se distingam três tipos reconhecidos de propriedades dinâmicas em mecânica quântica:

Propriedades compatíveis: são aquelas para as quais a medida simultânea e arbitrariamente precisa de seus valores não sofre nenhum tipo de restrição básica. Exemplo: a medição simultânea das coordenadas x, y e z de uma partícula. A medição simultânea dos momentos p_x, p_y e p_z de uma partícula.
Propriedades mutuamente excludentes: são aquelas para as quais a medida simultânea é simplesmente impossível. Exemplo: se um elétron está em uma posição x_i, não pode estar simultaneamente na posição diferente x_j.
Propriedades incompatíveis: são aquelas correspondentes a grandezas canonicamente conjugadas, ou seja, aquelas cujas medidas não podem ser simultaneamente medidas com precisão arbitrária. Em outras palavras, são grandezas cujas medidas simultâneas não podem ser levadas a cabo em um conjunto de subsistemas identicamente preparados (ensemble) para este fim, porque tal preparo não pode ser realizado. Exemplos: as coordenadas x, y e z e seus correspondentes momentos p_x, p_y e p_z, respectivamente. As coordenadas angulares θ_i e os correspondentes momentos angulares J_i.

Observáveis e operadores[editar | editar código-fonte]

No formalismo matemático da mecânica quântica, os observáveis são representados por operadores matemáticos sobre um espaço de Hilbert.

Esses operadores podem ser construídos a partir de seus equivalentes clássicos.

Na formulação de Heisenberg, as relações da incerteza podem ser dados na forma de um operador comutador, que opera sobre dois outros operadores quaisquer:

[A,B]\equiv AB-BA

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde A e B são operadores quaisquer.

No caso das relações de incerteza:

[X_{k},B_{l}]=i\hbar \delta _{kl}\mathbb {I}

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Dirac notou a semelhança formal entre o comutador e os parênteses de Poisson. Sabedor da equivalência usada por Schrödinger quando este postulou a forma da equação de onda, Dirac postulou as seguintes equivalências, que valem como receita para se acharem os operadores quânticos correspondentes a grandezas clássicas:

coordenada\ x_{k}\to operador\ X_{k}

momento\ p_{l}\to operador\ {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

\left\{x_{k},p_{l}\right\}\to {\frac {1}{i\ \hbar }}\cdot \left[X_{k},P_{l}\right]

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

A descrição ondulatória dos objetos microscópicos tem consequências teóricas importantes, como o princípio da incerteza de Heisenberg. O fato de os objetos microscópicos, em muitas situações, terem uma localização no espaço mesmo que aproximada, implica que não podem ser descritos por uma onda com um só comprimento de onda (onda plana), pois esta ocuparia todo o espaço. É necessária uma superposição de comprimentos de ondas diferentes para se obter um "pacote" de ondas mais bem localizado e que represente o objeto microscópico.

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